Εξισώσεις μαθηματικής φυσικής - δωρεάν μάθημα από την Ανοικτή Εκπαίδευση, Εκπαίδευση, Ημερομηνία: 5 Δεκεμβρίου 2023.

1. Πρώτη συνεδρίαση. Εισαγωγική λέξη. Βασικές αρχές εργασίας με εξισώσεις μαθηματικής φυσικής. Παραδείγματα απλών εξισώσεων. Ταξινόμηση. Επίλυση απλών εξισώσεων με αναγωγή τους σε συνηθισμένες διαφορικές εξισώσεις. Αντικατάσταση μεταβλητών σε μια εξίσωση.

2. Εξισώσεις πρώτης τάξης – γραμμικές και οιονείγραμμες. Γραμμικές εξισώσεις. Εύρεση κατάλληλου αντικαταστάτη - σύνταξη και επίλυση συστήματος συνηθισμένων διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης. Τα πρώτα ολοκληρώματα του συστήματος. Χαρακτηριστικά. Ημιγραμμικές εξισώσεις. Εύρεση λύσης σε άρρητη μορφή.

3. Πρόβλημα Cauchy. Ταξινόμηση γραμμικών εξισώσεων δεύτερης τάξης. Δήλωση του προβλήματος Cauchy. Θεώρημα για την ύπαρξη και τη μοναδικότητα μιας λύσης στο πρόβλημα Cauchy. Ταξινόμηση γραμμικών εξισώσεων δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές. Αναγωγή σε κανονική μορφή.

4. Υπερβολικές, παραβολικές και ελλειπτικές εξισώσεις. Ταξινόμηση γραμμικών εξισώσεων δεύτερης τάξης με μεταβλητούς συντελεστές στο επίπεδο. Υπερβολικός, παραβολικός και ελλειπτικός τύπος. Επίλυση υπερβολικών εξισώσεων. Προβλήματα με αρχικές και οριακές συνθήκες.

5. Εξίσωση χορδών. Μονοδιάστατη κυματική εξίσωση σε ολόκληρο τον άξονα. Εμπρός και πίσω κύμα. ο τύπος του d'Alembert. Ολόκληρο Duhamel. Οριακές συνθήκες για την εξίσωση στον ημιάξονα. Βασικοί τύποι οριακών συνθηκών. Συνέχεια της λύσης. Η περίπτωση ενός πεπερασμένου τμήματος.

6. Μέθοδος Fourier χρησιμοποιώντας την εξίσωση συμβολοσειράς ως παράδειγμα. Η ιδέα της μεθόδου Fourier. Το πρώτο βήμα είναι να βρεις μια βάση. Το δεύτερο βήμα είναι να ληφθούν οι συνήθεις διαφορικές εξισώσεις για τους συντελεστές Fourier. Το τρίτο βήμα είναι να ληφθούν υπόψη τα αρχικά δεδομένα. Σύγκλιση σειρών.

7. Εξίσωση διάχυσης (πεπερασμένο τμήμα) Παραγωγή της εξίσωσης. Δήλωση προβλημάτων (αρχικές και οριακές συνθήκες). Μέθοδος Fourier. Λαμβάνοντας υπόψη τη δεξιά πλευρά και την ανομοιογένεια σε οριακές συνθήκες. Σύγκλιση σειρών.

8. Εξίσωση διάχυσης (όλος ο άξονας) Μετασχηματισμός Fourier, τύπος αντιστροφής. Επίλυση της εξίσωσης χρησιμοποιώντας τον μετασχηματισμό Fourier. Θεώρημα – αιτιολόγηση της μεθόδου (δύο περιπτώσεις). Ο τύπος του Poisson. Η περίπτωση μιας εξίσωσης με τη δεξιά πλευρά.

9. Γενικευμένες συναρτήσεις. Γράψιμο του τύπου του Poisson ως συνέλιξη. Καταγραφή με τη μορφή συνέλιξης της λύσης στην εξίσωση θερμότητας σε ένα πεπερασμένο τμήμα. τάξη Schwartz. Παραδείγματα συναρτήσεων από την τάξη. Ορισμός γενικευμένων συναρτήσεων, σύνδεση με κλασικές συναρτήσεις. Πολλαπλασιασμός μιας γενικευμένης συνάρτησης με μια βασική συνάρτηση, διαφοροποίηση. Σύγκλιση γενικευμένων συναρτήσεων. Παραδείγματα γενικών συναρτήσεων.

10. Εργασία με γενικές συναρτήσεις. Επίλυση συνηθισμένων διαφορικών εξισώσεων σε γενικευμένες συναρτήσεις. Μετασχηματισμός Fourier γενικευμένων συναρτήσεων. Περιελιγμός. Άμεσο προϊόν. Ο φορέας μιας γενικευμένης συνάρτησης. Επίλυση της ανομοιογενούς μονοδιάστατης εξίσωσης θερμότητας χρησιμοποιώντας τη θεμελιώδη λύση. Θεμελιώδης λύση ενός συνηθισμένου διαφορικού τελεστή σε ένα διάστημα.

11. Βασικές λύσεις. Παραγωγή του τύπου Poisson για την πολυδιάστατη εξίσωση θερμότητας. Παραγωγή του τύπου του Kirkhoff. Παραγωγή του τύπου του Poisson για την κυματική εξίσωση. Επίλυση προβλημάτων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο διαχωρισμού μεταβλητών, τη μέθοδο της υπέρθεσης.

12. Η εξίσωση του Laplace. Παραγωγή της εξίσωσης του Laplace. Διανυσματικό πεδίο - δυναμικό, ροή μέσω μιας επιφάνειας. Δυνατότητα όγκου. Απλό δυναμικό στρώσης. Δυναμικό διπλής στρώσης. Λογαριθμικό δυναμικό.

13. Πρόβλημα Dirichlet, πρόβλημα Neumann και συνάρτηση Green. Αρμονικές συναρτήσεις. Αρχή αδύναμου ακραίου. Θεώρημα Harnack. Αυστηρή αρχή μέγιστου. Θεώρημα μοναδικότητας. Θεώρημα μέσης τιμής. Ατελείωτη ομαλότητα. Το θεώρημα του Λιουβίλ. Η φόρμουλα του Γκριν. Η συνάρτηση του Green, οι ιδιότητές του. Επίλυση του προβλήματος Poisson με συνθήκες Dirichlet χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση του Green. Άλλα προβλήματα οριακής τιμής. Κατασκευή της συνάρτησης του Green με τη μέθοδο της ανάκλασης.

14.Πολυδιάστατη μέθοδος Fourier. Επίλυση προβλημάτων με τη μέθοδο Fourier. Διάφορες οριακές συνθήκες. Λειτουργίες Bessel. Πολυώνυμο Legendre. Ανασκόπηση του ολοκληρωμένου μαθήματος. Συνοψίζοντας.