Αναλυτική γεωμετρία - δωρεάν μάθημα από την Open Education, εκπαίδευση 13 εβδομάδων, περίπου 5 ώρες την εβδομάδα, Ημερομηνία 29 Νοεμβρίου 2023.
μικροαντικείμενα / / December 01, 2023
– σχηματισμός μιας γενικής μαθηματικής κουλτούρας: ικανότητα λογικής σκέψης, πραγματοποίησης αποδείξεων βασικών δηλώσεων, δημιουργίας λογικών συνδέσεων μεταξύ των εννοιών.
– σχηματισμός δεξιοτήτων και ικανοτήτων για την εφαρμογή της αποκτηθείσας γνώσης για την επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων, ανεξάρτητη ανάλυση των ληφθέντων αποτελεσμάτων.
Μόνο διαλέξεις βίντεο και εκπαιδευτικές εργασίες είναι διαθέσιμες για δωρεάν προβολή. Οι δοκιμές επαλήθευσης θα ανοίξουν μετά την πληρωμή για την πιστοποίηση. Το κόστος της πιστοποίησης είναι 2800 ρούβλια.
Αγαπητοί μαθητές, μπορείτε να λάβετε μέρος σε μια προβλεπόμενη εξέταση, η οποία θα πραγματοποιείται κατά τη διάρκεια του μαθήματος μία φορά κάθε 2-3 μήνες. Ενημερωτικά δελτία σχετικά με τις επερχόμενες εξετάσεις θα σας αποσταλούν με email εκ των προτέρων.
Οι επερχόμενες εξετάσεις χρονολογούνται από 22 Μαΐου έως 31 Μαΐου 2023.
Για να αποκτήσουν δωρεάν πρόσβαση στις δοκιμαστικές εργασίες και στις εξετάσεις, οι μαθητές του MIPT πρέπει να γράψουν [email protected] ένα γράμμα που δείχνει το όνομα του μαθήματος, συνδεθείτε στο openu και ένα στιγμιότυπο οθόνης του προσωπικού σας λογαριασμού, το οποίο δείχνει κατάσταση εκπαίδευσης.
Υποψήφιος Παιδαγωγικών Επιστημών, Επίτιμος Δάσκαλος του MIPT, Βραβευμένος με το Ρωσικό Κυβερνητικό Βραβείο στον τομέα της εκπαίδευσης Θέση: Αναπληρωτής Καθηγητής του Τμήματος Ανωτάτων Μαθηματικών του MIPT
Βραβεία και επιτεύγματα Βραβείο Ρωσικής Κυβέρνησης στον τομέα της εκπαίδευσης για το 2010, Επίτιμος Δάσκαλος του MIPT.
Υποψήφιος Φυσικομαθηματικών Επιστημών Θέση: Αναπληρωτής Καθηγητής, Τμήμα Ανώτατων Μαθηματικών, MIPT
Υποψήφιος Φυσικομαθηματικών Επιστημών, Επίτιμος Καθηγητής ΜΙΠΤ Θέση: Αναπληρωτής Καθηγητής του Τμήματος Ανωτάτων Μαθηματικών του Μ.Ι.Π.Τ.
Το μάθημα αποτελείται από 12 εβδομάδες εκπαίδευσης και μία εβδομάδα εξέτασης
Εβδομάδα 1. Πίνακες
01.00 Εισαγωγή
01.01 Ορισμός μήτρας
01.02 Πράξεις με πίνακες
01.02.01 Πρόβλημα. Υπολογισμός γραμμικού συνδυασμού πινάκων
02/01/02 Πρόβλημα. Εύρεση του μετατιθέμενου πίνακα
01.03 Προϊόν των πινάκων. Μέρος 1
01.04 Προϊόν των πινάκων. Μέρος 2ο
04/01/01 Πρόβλημα. Υπολογισμός του γινομένου των πινάκων
04/01/02 Πρόβλημα. Έλεγχος ύπαρξης προϊόντος και υπολογισμός του
04/01/03 Πρόβλημα. Υπολογισμός μήτρας στην nη δύναμη. Παράδειγμα 1
04/01/04 Πρόβλημα. Υπολογισμός μήτρας στην nη δύναμη. Παράδειγμα 2
04/01/05 Πρόβλημα. Υπολογισμός πολυωνύμου μήτρας
04/01/06 Πρόβλημα. Έλεγχος της εγκυρότητας της ισότητας του πίνακα
04/01/07 Πρόβλημα. Υπολογισμός πίνακα σε αριθμητική ισχύ
01.05 Ορίζουσα μήτρας
01.05.01 Πρόβλημα. Υπολογισμός της ορίζουσας ενός πίνακα
01.06 Κανόνας του Cramer
06/01/01 Πρόβλημα. Επίλυση συστήματος γραμμικών εξισώσεων με τη μέθοδο του Cramer
Εβδομάδα 2. Διανύσματα
02.01 Προσδιορισμός κατευθυνόμενου τμήματος, διάνυσμα
02.02 Επανάληψη από το μάθημα της σχολικής γεωμετρίας
02.02.01 Πρόβλημα. Απόδειξη της ανισότητας για τετράπλευρο στο χώρο
02.02.02 Πρόβλημα. Απόδειξη ισότητας για ένα n-gon
02.03 Γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων
02.04 Γραμμική εξάρτηση και ανεξαρτησία διανυσμάτων
02.05 Κριτήριο γραμμικής εξάρτησης συστήματος διανυσμάτων
02.06 Βάση
02.06.01 Πρόβλημα. Εύρεση διανυσματικών συντεταγμένων
02.06.02 Πρόβλημα. Εύρεση των συντεταγμένων ενός παραλληλεπίπεδου με χρήση διανυσμάτων
02.07 Αντικατάσταση βάσης
07/02/01 Πρόβλημα. Εύρεση των συντεταγμένων ενός σημείου πρίσματος σε ένα νέο σύστημα συντεταγμένων
02/07/02 Πρόβλημα. Εύρεση των συντεταγμένων ενός παραλληλογράμμου σημείου σε ένα νέο σύστημα συντεταγμένων
02.08 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων (DCS)
02.08.01 Πρόβλημα. Έλεγχος ότι τα διανύσματα αποτελούν τη βάση
02.09 Αντικατάσταση ODSC
02.09.01 Πρόβλημα. Εύρεση των συντεταγμένων των διανυσμάτων αρχής και βάσης στο νέο και το παλιό σύστημα συντεταγμένων
02.09.02 Πρόβλημα. Εύρεση των συντεταγμένων ενός διανύσματος στη νέα βάση μέσω των συντεταγμένων στην παλιά
Εβδομάδα 3. Προϊόν διανυσμάτων
03.01 Τελική γινόμενο διανυσμάτων
03.02 Προβολή ενός διανύσματος σε ένα μη μηδενικό διάνυσμα
03.03 Ιδιότητες του βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων. Μέρος 1
03.04 Ιδιότητες του βαθμωτού γινόμενου διανυσμάτων. Μέρος 2ο
04/03/01 Πρόβλημα. Εύρεση των μηκών των πλευρών και των γωνιών ενός παραλληλογράμμου χρησιμοποιώντας διανύσματα βάσης
04/03/02 Πρόβλημα. Εύρεση της ορθογώνιας προβολής ενός διανύσματος σε μια ευθεία
03.05 Προσανατολισμός βάσεων. Προσανατολισμένοι όγκοι και περιοχές
03.06 Μικτό γινόμενο διανυσμάτων. Μέρος 1
03.07 Μικτό γινόμενο διανυσμάτων. Μέρος 2ο
03.08 Διανυσματικό γινόμενο διανυσμάτων. Μέρος 1
03.09 Διανυσματικό γινόμενο διανυσμάτων. Μέρος 2ο
03.09.01 Πρόβλημα. Απόδειξη συνεπίπεδης διανυσμάτων
03.09.02 Πρόβλημα. Εύρεση του εμβαδού ενός τριγώνου χρησιμοποιώντας διανυσματικές συντεταγμένες
09/03/03 Πρόβλημα. Απόδειξη ισότητας για μη συγγραμμικά διανύσματα
09/03/04 Πρόβλημα. Εύρεση του όγκου ενός τετραέδρου και του ύψους του
03.10 Διπλό σταυρωτό προϊόν
03.10.1 Πρόβλημα. Απόδειξη ταυτότητας
03.11 Αμοιβαία βάση
Εβδομάδα 4 Μέρος 1. Αεροπλάνο στο διάστημα
04.01 Ορισμός αεροπλάνου στο διάστημα
04.02 Διάφορες μορφές γραφής της εξίσωσης ενός επιπέδου
04.03 Εξίσωση γενικού επιπέδου
04.03.01 Πρόβλημα. Επίπεδη εξίσωση
Εβδομάδα 4 Μέρος 2ο. Κατευθείαν σε ένα αεροπλάνο. Ευθεία γραμμή και επίπεδο στο διάστημα
04.04 Ευθεία γραμμή σε αεροπλάνο
04.04.01 Πρόβλημα. Εύρεση του διανύσματος ακτίνας ενός σημείου
04.04.02 Πρόβλημα. Συνθήκες τομής, παραλληλισμού και καθετότητας ευθειών σε επίπεδο
04.05 Γενική εξίσωση ευθείας σε επίπεδο. Ευθεία γραμμή στο διάστημα
04.05.01 Πρόβλημα. Εύρεση του διανύσματος ακτίνας του σημείου τομής των ευθειών
04.05.02 Πρόβλημα. Εξίσωση ευθείας που τέμνει δύο λοξές γραμμές
04.05.03 Πρόβλημα. Εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα σημείο και είναι παράλληλη σε μια άλλη ευθεία
04.05.04 Πρόβλημα. Συνθήκη τομής ευθείας και επιπέδου
04.06 Αμοιβαία διάταξη γραμμών και αεροπλάνων
06/04/01 Πρόβλημα. Εξίσωση επιπέδου που διέρχεται από ένα σημείο και είναι παράλληλο σε δύο ευθείες
06/04/02 Πρόβλημα. Εξίσωση επιπέδου που διέρχεται από μια ευθεία και είναι παράλληλο σε μια άλλη ευθεία
04.07 Ευθεία γραμμή και επίπεδο σε PDSC
04.07.01 Πρόβλημα. Εξίσωση ευθειών που διέρχονται από ένα σημείο και ισαπέχουν από δύο άλλα σημεία
04.07.02 Πρόβλημα. Εξίσωση της διχοτόμου της γωνίας μεταξύ των γραμμών
04.08 Μερικά μετρικά προβλήματα στο PDSC. Μέρος 1
04.08.01 Πρόβλημα. Εξίσωση ευθειών παράλληλων σε άλλη ευθεία και χωρισμένες από ένα σημείο σε κάποια απόσταση
04.08.02 Πρόβλημα. Γενική εξίσωση ενός επιπέδου που διέρχεται από κάποιο σημείο και μια ευθεία. Απόσταση από αυτό το επίπεδο σε ένα δεδομένο σημείο
04.09 Μερικά μετρικά προβλήματα στο PDSC. Μέρος 2ο
04.09.01 Πρόβλημα. Απόσταση μεταξύ των γραμμών
Εβδομάδα 5. Αλγεβρικές γραμμές δεύτερης τάξης στο επίπεδο
05.01 Ορισμός αλγεβρικών γραμμών και επιφανειών
05.02 Γραμμές δεύτερης παραγγελίας σε αεροπλάνο. Εξίσωση έλλειψης
05.03 Εξίσωση φανταστικής έλλειψης, ζεύγος φανταστικών τεμνόμενων γραμμών, υπερβολή, ζεύγος τεμνόμενων γραμμών
05.04 Εξίσωση παραβολής, ζεύγη παράλληλων ευθειών, ζεύγη νοητών παράλληλων ευθειών, ζεύγη συμπίπτουσες ευθείες
05.05 Κέντρο γραμμής. Ελλειπτικές και υπερβολικές γραμμές
05.05.01 Πρόβλημα. Ένας τύπος καμπύλης δεύτερης τάξης που ορίζεται από κάποια εξίσωση. Η κανονική εξίσωση μιας καμπύλης και το κανονικό σύστημα συντεταγμένων. Παράδειγμα 1
05.05.02 Πρόβλημα. Ένας τύπος καμπύλης δεύτερης τάξης που ορίζεται από κάποια εξίσωση. Η κανονική εξίσωση μιας καμπύλης και το κανονικό σύστημα συντεταγμένων. Παράδειγμα 2
05.05.03 Πρόβλημα. Ένας τύπος καμπύλης δεύτερης τάξης που ορίζεται από κάποια εξίσωση. Η κανονική εξίσωση μιας καμπύλης και το κανονικό σύστημα συντεταγμένων. Παράδειγμα 3
Εβδομάδα 6 Μελέτη των ιδιοτήτων της έλλειψης, της υπερβολής και της παραβολής
06.01 Έλειψη
01/06/01 Πρόβλημα. Κανονική εξίσωση έλλειψης
06.02 Ιδιότητες της έλλειψης
06.03 Εξίσωση εφαπτομένης σε έλλειψη
03/06/01 Πρόβλημα. Εξίσωση εφαπτομένων σε έλλειψη
03/06/02 Πρόβλημα. Γωνία μεταξύ της εφαπτομένης και του άξονα Ox
06.04 Υπερβολία
04/06/01 Πρόβλημα. Υπερβολική εκκεντρικότητα
06.05 Γεωμετρικές ιδιότητες μιας υπερβολής
05/06/01 Πρόβλημα. Απόδειξη της σταθερότητας του γινόμενου της απόστασης από οποιοδήποτε σημείο μιας υπερβολής έως τις ασύμπτωτές της
06.06 Παραβολή
06.06.01 Πρόβλημα. Εξίσωση παραβολής
06.06.02 Πρόβλημα. Εξισώσεις εφαπτομένων σε παραβολή
06.07 Έλλειψη, υπερβολή και παραβολή στο πολικό σύστημα συντεταγμένων
Εβδομάδα 7 Επιφάνεια δεύτερης τάξης
07.01 Επιφάνεια περιστροφής
07.02 Ελλειψοειδές
07.03 Κώνος δεύτερης τάξης
07.04 Μονόφυλλο υπερβολοειδές
07.05 Ευθύγραμμες γεννήτριες υπερβολοειδούς ενός φύλλου
07.06 Υπερβολοειδές δύο φύλλων, ελλειπτικό και υπερβολικό παραβολοειδές
06/07/01 Πρόβλημα. Προσδιορισμός τύπου επιφάνειας
06/07/02 Πρόβλημα. Κοινά σημεία μιας γραμμής και επιφάνειες δεύτερης τάξης
06/07/03 Πρόβλημα. Παραμετρικές εξισώσεις ευθύγραμμων γεννητριών δεδομένης επιφάνειας
06/07/04 Πρόβλημα. Τύπος επιφάνειας που σχηματίζεται με περιστροφή ευθείας γραμμής
Εβδομάδα 8 Χαρτογραφήσεις και Μετασχηματισμοί
08.01 Ορισμός χαρτογράφησης και μετασχηματισμού
08.02 Αντιστοίχιση ένας προς έναν. Προϊόν χαρτογράφησης
08.03 Ιδιότητες του γινομένου επίπεδων μετασχηματισμών. Συντονισμός καταγραφής χαρτογραφήσεων
08.04 Μετασχηματισμοί ορθογώνιων επιπέδων
08.05 Γραμμικοί και συγγενικοί μετασχηματισμοί
08.06 Εικόνα διανύσματος κατά τη διάρκεια γραμμικού μετασχηματισμού. Μέρος 1
08.07 Εικόνα διανύσματος κατά τη διάρκεια γραμμικού μετασχηματισμού. Μέρος 2ο
08.08 Γεωμετρικές ιδιότητες συγγενικών μετασχηματισμών
08.08.01 Πρόβλημα. Συμμετρία ως προς μια ευθεία γραμμή
08.08.02 Πρόβλημα. Ένας συγγενικός μετασχηματισμός ενός επιπέδου που παίρνει δεδομένες γραμμές μέσα του και ένα δεδομένο σημείο σε κάποιο άλλο σημείο
08.09 Αλλαγή περιοχών κατά τον μετασχηματισμό συγγενών
08.10 Εικόνες γραμμών δεύτερης τάξης υπό συγγενικό μετασχηματισμό
08.10.01 Πρόβλημα. Τύπος καμπύλης δεύτερης τάξης
08.10.02 Πρόβλημα. Απόδειξη ισότητας αθροισμάτων εμβαδών τριγώνων
08.11 Αποσύνθεση συγγενικού μετασχηματισμού
08.11.01 Πρόβλημα. Αναπαράσταση ενός δεδομένου μετασχηματισμού συγγένειας ως προϊόντα τριών μετασχηματισμών
Εβδομάδα 9 Ορίζοντες πινάκων νης τάξης
09.01 Ορίζοντες
01/09/01 Πρόβλημα. Ορίζουσα τάξης ν. Παράδειγμα 1
01/09/02 Πρόβλημα. Ορίζουσα τάξης ν. Παράδειγμα 2
09.02 Ιδιότητες ορίζουσας. Μέρος 1
09.03 Ιδιότητες ορίζουσας. Μέρος 2ο
09.04 Ιδιότητες ορίζουσας. Μέρος 3
04/09/01 Πρόβλημα. Ορίζουσα Vandermonde
04/09/02 Πρόβλημα. Ορίζουσα τάξης 2n
09.05 Τύπος για την πλήρη ανάπτυξη της ορίζουσας
05/09/01 Πρόβλημα. Πλήρης τύπος αποσύνθεσης για μήτρα πέμπτης τάξης
09.06 SLAU σε ειδική περίπτωση
09.07 Ο κανόνας του Cramer στη γενική περίπτωση
Εβδομάδα 10 Κατάταξη μήτρας
10.01 Ανήλικοι αυθαίρετης τάξης
10.02 Κατάταξη Matrix
02/10/01 Πρόβλημα. Σύστημα κατάταξης και βάσης στηλών μήτρας
02/10/02 Πρόβλημα. Εκτίμηση της κατάταξης ενός πίνακα τάξης n
02/10/03 Πρόβλημα. Απόδειξη ανισότητας κατάταξης για οποιουσδήποτε πίνακες ίδιου μεγέθους
02/10/04 Πρόβλημα. Μη μηδενικό δευτερεύον της τάξης r ενός πίνακα της τάξης r
02/10/05 Πρόβλημα. Εκτίμηση κατάταξης μήτρας
10.03 Αναγωγή του πίνακα σε απλοποιημένη μορφή
10.04 Γκαουσιανή μέθοδος
10.05 Θεώρημα ελάσσονος βάσης
05/10/01 Πρόβλημα. Αναπαράσταση πίνακα μέσω του γινομένου πινάκων
10.06 Θεώρημα κατάταξης πίνακα
06/10/01 Πρόβλημα. Ανώτερο φράγμα για την κατάταξη του γινομένου δύο πινάκων
06/10/02 Πρόβλημα. Απόδειξη ισότητας της κατάταξης ενός πίνακα στην υψηλότερη τάξη των ανηλίκων του
Εβδομάδα 11 αντίστροφη μήτρα
11.01 Ορισμός αντίστροφου πίνακα
11.02 Έκφραση στοιχείων ενός αντίστροφου πίνακα μέσω στοιχείων του αρχικού πίνακα
02/11/01 Πρόβλημα. Υπολογισμός του αντίστροφου πίνακα. Παράδειγμα 1
02/11/02 Πρόβλημα. Εύρεση του αντίστροφου πίνακα. Παράδειγμα 2
11.03 Ιδιότητες αντίστροφου πίνακα
03/11/01 Πρόβλημα. Έλεγχος της εγκυρότητας της ταυτότητας για πίνακες
11.04 Μια άλλη απόδειξη της ύπαρξης ενός αντίστροφου πίνακα για έναν μη ενικό τετραγωνικό πίνακα
11.05 Χαρακτηριστικό πολυώνυμο ενός πίνακα
05/11/01 Πρόβλημα. αντίστροφη μήτρα
11.06 Θεώρημα Hamilton-Cayley
11.07 Στοιχειώδεις μετασχηματισμοί όπως ο πολλαπλασιασμός πινάκων
07/11/01 Πρόβλημα. Υπολογισμός του αντίστροφου πίνακα μέσω στοιχειωδών μετασχηματισμών. Παράδειγμα 1
07/11/02 Πρόβλημα. Εύρεση του αντίστροφου πίνακα. Παράδειγμα 2
Εβδομάδα 12 Γενική θεωρία γραμμικών συστημάτων
12.01 Θεώρημα Kronecker-Capelli
12.02 Θεώρημα Fredholm
12.03 Γενική λύση ανομοιογενούς SLAE
12.04 Θεμελιώδης πίνακας ομοιογενούς SLAE. Μέρος 1
12.05 Θεμελιώδης πίνακας ομοιογενούς SLAE. Μέρος 2ο
05.12.01 Πρόβλημα. Θεμελιώδης πίνακας SLAE
05.12.02 Πρόβλημα. Έλεγχος του θεμελιώδους πίνακα του SLAE
05.12.03 Πρόβλημα. Διάλυμα SLAE
05.12.04 Πρόβλημα. Γενική άποψη ενός αυθαίρετου θεμελιώδους πίνακα SLAE
05/12/05 Πρόβλημα. Συνθήκη ισοδυναμίας για SLAE
12.06 Γενική λύση ανομοιογενούς SLAE
06/12/01 Πρόβλημα. Διάλυμα SLAE
06.12.02 Πρόβλημα. Συμβατότητα ετερογενών SLAE
Εβδομάδα 13 τελική εξέταση